今天看到“域”，一时间想不起来其概念和性质，所以写一篇博客来记录这部分的知识点，以防不时之需。
多项式运算
书中介绍到，多项式运算分为三种：
- 使用代数基本规则的普通多项式运算。
- 系数运算是模p运算的多项式运算，即系数在有限域GF(p)中。
- 系数在有限域GF(p)中，且多项式被定义为模一个n次多项式m(x)的多项式运算。
普通多项式运算就不再赘述。
系数在中的多项式运算
系数是域F中的元素的多项式，这种多项式被称为域F上的多项式。在这种情况下，这样的多项式集合是一个环，成为多项式环。
对有限域中的多项式进行多项式运算时，除法运算是可能的。这里并不是说进行整除。在一个域中，给定两个元素a和b，a除以b的商也是这个域中的一个元素。然而，在非域的环R中，普通除法将得到一个商式和一个余式，这并不是整除。
例子：考虑集合S中的除法运算5/3。如果S是有理数集（是域），那么结果可以简单地表示为5/3，这是S中的一个元素。现在假设S是域Z7，在这种情况下，得：
这是一个整除。最后假设S是整数集（是环而不是域），那么5/3的结果是商1和余数2；
因此，除法在整数集上并不是整除。
即使系数集是一个域，多项式除法也不一定是整除。一般来说，除法会产生一个商式和一个余式。所以对于多项式除法叙述如下：给定n次多项式f(x)和m次多项式g(x)（m \leqslant n），若用g(x)除f(x)，则得到一个商式q(x)和一个余式r(x)，它们满足
若允许有余数，则我们说有限域中的多项式除法是可能的。与整数的长除法相同，长除法也适用于多项式除法。
与整数运算相似，我们把余式r(x)写为f(x) mod g(x)，即 r(x) = f(x) mod g(x)。若这里没有余式，即r(x) = 0，则说g(x)整除f(x)，并写为g(x)|f(x)；等价地，可以说g(x)是f(x)的一个因式或除式。
在有限域GF(2)中，加法等价于异或（XOR）运算，乘法等价于逻辑与（AND）运算。而且，模2加法和减法是等价的：
域F中的多项式f(x)被称为不可约的（既约的），当且仅当f(x)不能表示为两个多项式的积（两个多项式都在F上，次数都低于f(x)的次数）。与整数相似，一个不可约多项式也被称为素多项式。